EL ANTIGUO EGIPTO

Ubicación temporal

La civilización del Antiguo Egipto se desarrolló a partir del año 3000 ac. Aproximadamente después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto y se mantuvo durante 3 milenios.

Ubicación geográfica

Esta civilización se concentró en el estado moderno de Egipto, ubicado en la parte oriental de África del Norte, más precisamente, a lo largo del curso inferior del río Nilo.

El Nilo tuvo un papel fundamental en el desarrollo de la cultura egipcia,

Todos los años, en julio, el río se desbordaba e inundaba todo el valle del Nilo.

Este desbordamiento duraba varias semanas, hasta septiembre aproximadamente, y cuando el río volvía a su cauce normal, dejaba la tierra húmeda y fértil, ideal para las prácticas agrícolas.

Organización política

Con respecto a su organización política, el antiguo Egipto se consolidó como un estado con un gobierno monárquico, absolutista y teocrático.

Monárquico porque el poder estaba en manos de un rey, el faraón.

Absolutista porque el Faraón reunía todos los poderes del estado

Y teocrático porque se creía que el Faraón era el hijo de Dios o elegido de Dios

Administración

Asimismo, el Antiguo Egipto estaba dividido en 42 sepats (provincias), cada una de las cuales tenía su propio gobernador y, además, el estado contaba con un importante sistema impositivo.

El gobierno había establecido diversos impuestos que se pagaban de acuerdo al trabajo, las rentas o la cantidad de tierras de cada uno, que al no existir moneda eran pagados en especie, con trabajo o mercancías. El responsable de controlar el sistema impositivo en nombre del faraón, era El Visir.

Organización socio-cultural

Con respecto a su organización social, el antiguo Egipto se caracterizó por tener varias clases sociales bien diferenciadas, es decir, que existía una desigualdad de poder entre sus miembros.

El la cúspide de la pirámide, vamos a encontrar al Faraón, que era la autoridad suprema y disponía de la vida y de los bienes de sus súbditos.

En el segundo escalón, encontramos a la nobleza, los sacerdotes y lo altos Funcionarios. En este sector, estarían incluidos los parientes del Faraón, que poseían gran cantidad de tierras, los sacerdotes, que tenían a cargo el cuidado de los templos y, además ejercían la medicina y, los gobernadores de las distintas provincias.

Los Escribas eran las personas más cultas de Egipto. Ellos sabían leer y escribir y llevaban las cuentas comerciales, controlaban las construcciones, recaudaban los impuestos.. Ocupaban una categoría muy elevada en la sociedad egipcia y tenían una formación rigurosa.

Los soldados, estaban encargados de la protección de las fronteras, pero también de la conquista de nuevos territorios. Eran bien recompensados con oro, tierras y esclavos.

La mayoría del pueblo estaba formada por artesanos, comerciantes y campesinos. En general llevaban una vida miserable, con muy pocos recursos. El faraón y los sacerdotes proyectaban la economía del pueblo determinando las zonas que habían que sembrar, la cosecha, etc. Todo el pueblo debía sembrar y la cosecha era entregada en su totalidad al faraón.

Los esclavos no eran muy numerosos en el Antiguo Egipto. Eran prisiones de guerra y estaban condenados a trabajos forzosos en las grandes obras del Estado.

Economía

La principal actividad económica de Egipto fue la agricultura. Entre sus principales cultivos encontramos el trigo, la cebada y el lino, con los que producían pan, cerveza y prendas de vestir, respectivamente.

La ganadería también ocupó un lugar importante en la economía egipcia. Se criaban vacas, bueyes, asnos, cerdos ovejas y aves. Cada cierto período de tiempo, los campesinos debían llevar el ganado ante los escribas para fijar los impuestos.

La caza y la pesca también tuvieron su lugar en el Antiguo Egipto.

Otra actividad importante fue el comercio que se desarrolló en pequeña y gran escala. El comercio interno, se basaba en el intercambio de bienes, mientras que, a mayor escala, se utilizaban monedas de cobre, plata y oro.

El Antiguo Egipto fue el estado más rico del mundo durante casi toda su existencia.

LA MATEMÁTICA EN EL ANTIGUO EGIPTO

La matemática, en el Antiguo Egipto, surgió como respuesta a diversos problemas concretos, relacionados con la vida cotidiana: la demarcación de los terrenos, el cálculo de los impuestos, el pago a los trabajadores, las cálculos relacionados con las construcciones, entre otras cosas.

Sistema de Numeración

    Jeroglífico

Era una sistema decimal, no posicional y aditivo.

Estaba formado por 7 símbolos que denotaban desde la unidad hasta la unidad de millón. Este sistema no tenia signo alguno para el cero.

    Hierático

Era un sistema decimal, no aditivo.

Este sistema es quizás mas avanzado en comparación con el anterior, es bastante similar al sistema de numeración actual, principalmente contiene dos grandes propiedades una de ellas es que cada carácter es distinto para las unidades, se empleo caracteres para múltiplos de diez hasta el noventa, cientos del cien al novecientos y miles del mil al nueve mil. 

ARITMÉTICA EN EL ANTIGUO EGIPTO

Para sumar se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. El funcionamiento es similar al ábaco. Así:

Al obtener 11 símbolos | no hay más que eliminar 10 y añadir el equivalente: 

Obteniendo:

 Para la resta se eliminaban los símbolos a restar.

Para los signos más y menos, se usaban los jeroglíficos

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban SUMA, si no RESTA

   Multiplicación y división:

Ø     La multiplicación Egipcia se realizaba mediante el método de duplicaciones sucesivas de uno de los factores. En la primera columna se anotaban las duplicaciones del mayor factor y en la segunda columna, le serie 1, 2, 4,8,….. Hasta el último número que no supere al multiplicador.

            El resultado es la suma de las cifras de la primera columna.

Por ejemplo para multiplicar 80 x 14

              80                        1

             160                       2

             320                       4

             640                       8→ último número menor al multiplicador

2 + 4 + 8= 14 → que corresponde al multiplicador.

Por lo tanto el resultado será la suma de las cifras correspondientes a estos valores de la primera columna.     → 160 + 320 +640= 1120

Ø     División exacta:

La división Egipcia se efectuaba por el procedimiento inverso de la    multiplicación, también mediante duplicaciones sucesivas, pero en este caso del divisor.

Se comienza duplicando al divisor hasta conseguir en la segunda columna la suma del dividendo, luego la suma de sus valores correspondientes de la primera columna será el cociente de la división.

Por ejemplo, para dividir 168 entre 8

                1                 8

                2                16

                4                32

                8                64

               16               128   → Último número menor al dividendo.

128 + 32 + 8 = 168 → Dividendo

Entonces 16 + 4 + 1= 21 → cociente

División inexacta:

En este caso se comienza también realizando duplicaciones sucesivas del divisor, al no poder obtenerse la suma del dividendo mediando estas duplicaciones, se procede obteniendo ½, ¼, 1/8 ….. etc. del divisor, hasta obtener la suma del dividendo en la segunda columna.

Por ejemplo para dividir 21 entre 6

             1            6

             2           12

             ½           3

6 + 12 + 3= 21 → Dividendo

Entonces la suma de sus cifras correspondientes de la primera columna dará por resultado el cociente. 

1 + 2 + ½ = 3 ½  → Cociente 

Álgebra

Los egipcios resolvieron ecuaciones lineales y algunas ecuaciones sencillas de segundo grado, a través del método de la “falsa posición”.

A continuación les presentamos un problema resuelto que figura en el Papiro de Rhind, en el que se utiliza el método de la falsa posición:

UNIDADES DE MEDIDA EN EL ANTIGUO EGIPTO

Las unidades de medida en el Antiguo Egipto se utilizaron desde las primeras dinastías. Las había de longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo. Se han hallado muchos documentos de contabilidad en papiro, ya que los escribas tenían como tarea contabilizar la cosecha, censar el ganado, comparar el nivel máximo anual del río Nilo (para el cálculo de los impuestos) y registrar las áreas de las superficies de las parcelas para poder restaurar los límites y remarcar las tierras agrícolas que la inundación del Nilo desdibujaba cada año.

La unidad administrativa que supuso la organización centralizada de Egipto conllevó la adopción de unidades comunes para las distintas partes del país.

o      Unidades de longitud:

Las unidades de longitud empleadas por los Antiguos Egipcios son de naturaleza antropomórfica, es decir, tienen relación con medidas corporales. De esta forma se pueden encontrar tanto una unidad fundamental, como subunidades relacionadas del mismo tipo.

La principal unidad de medida lineal se conoce como Codo Real y es equivalente a 52,3 centímetros de longitud. Este se subdividía en Palmos, de manera que 1 Codo Real es igual a 7 Palmos.

La siguiente subunidad es el Dedo, resultando que 1 Palmo son 4 Dedos, y por lo tanto un Codo Real es igual a 28 Dedos.

Hacia el año 600 a.C. durante la dinastía XXVI, se introduce una importante reforma para unificar varias medidas.

o      Unidades de superficie:

   La unidad de superficie básica era el Setat, equivalente a un cuadrado de 100 codos de lado, es decir, a 10.000 codos cuadrados.

   Esta unidad era una extensión considerable, particularmente en el Imperio Nuevo que conoció una fragmentación importante del terreno. Es por ello que se utilizaban subunidades del Setat en forma de fracciones (1/2,1/4,1/8 como más frecuentes) que respondían a nombres propios.

o      Unidades de capacidad:

La capacidad se podía expresar a partir de dos unidades fundamentales; una de ellas llamada Khar, era la de mayor tamaño y la otra llamada Heqat representada por el Ojo de Horus. Este último era empleado para medir, fundamentalmente el trigo y la cebada. Era necesario para la determinación, por ejemplo, de lo que le correspondía a un trabajador por día.

Para la medición de líquidos como la cerveza, el vino, la leche o el agua, la unidad de volumen que habitualmente se utilizaba era llamada Henu Ohin.

Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fracción de Heqat y se conocen como “fracciones Ojo de Horus”. Estas fracciones se basaban en las divisiones por dos de la fracción 1/2. Cada fracción se representaba por el jeroglífico correspondiente del Ojo:

  .

El Ojo de Horus era un símbolo de características mágicas, protectoras, purificadoras, sanadoras; símbolo que encarnaba el orden, lo imperturbado, el estado perfecto.

Según la mitología del Antiguo Egipto Horus era hijo de Osiris, el Dios griego que fue asesinado por su propio hermano Seth. Horus mantuvo una serie de encarnizados combates contra Seth, para vengar a su padre. En el transcurso de estas luchas los contendientes sufrieron múltiples heridas y algunas pérdidas vitales, como la mutilación del ojo izquierdo de Horus.

o      Unidades de tiempo:

El calendario más completo y exacto de la Antigüedad fue el egipcio, que ya existía en el año 4.241 a.C. El año tenía 365 días, repartidos en tres estaciones de cuatro meses cada una, más cinco días extras que los agregaron por si había que cumplir con algún festejo. Cada mes tenía exactamente treinta días, repartidos en tres decanos. El día se dividió en 24 horas, doce diurnas, más doce nocturnas. El año comenzaba cuando aparecía por la línea del horizonte la estrella Sirio, para ellos llamada Shotis; este día era el 19 de julio.

En cuanto a las estaciones del año, estas eran: la de inundación (coincidía con el invierno), la de siembra (coincidía con la primavera) y la de recolección (coincidía con el verano).

Para medir y regular el tiempo, los egipcios utilizaron el Setjat (un reloj de sol portátil), el Clepsidra (reloj de agua) y el Merjet para conocer las horas nocturnas.

El primero era un pedazo de madera colocado en ángulo recto sobre una tablilla graduada, hasta el mediodía la sombra se alargaba, luego se acortaba. Para leer la hora bastaba mirar donde se encontraba la sombra sobre la regla.

El reloj de agua era un jarrón graduado y agujereado en su base, el agua pasaba poco a poco a otro recipiente. Se leía la hora mirando el nivel del agua en el interior del jarrón. Este reloj tenía la ventaja de funcionar de día y de noche.

o      Unidades de peso:

Las unidades de peso se utilizaban para realizar transacciones aplazadas, ya que en el Antiguo Egipto no hubo una moneda única hasta época muy tardía. No obstante, las transacciones económicas entre particulares se hacían en modo de trueques.

La unidad de peso fundamental era el Deben que corresponde a unos 91 gramos en la actualidad.

El Deben se dividía en diez Kite. El peso inferior al Kite se expresaba mediante fracciones.

El Deben, normalmente, equivalía a gramos de cobre, aunque el valor de algunos productos podía aparecer expresado en Deben de oro o plata. Durante gran parte de la historia de Antiguo Egipto, se estimaba que un Deben de plata equivalía a cien Deben de cobre.

El peso se calculaba con pesas de piedra o de metal, que representaban la cabeza de un toro o de una gacela.

Para los campesinos o miembros de la pequeña nobleza que no disponían de cobre o plata suficientes, los trueques debían realizarse con todo tipo de elementos (granos, utensilios, aceite, etc.). Este hecho provocaba que se alternase en el trueque el peso en Deben o Kite junto con medidas de capacidad equivalentes, así como directamente objetos susceptibles de ser cambiados.

GEOMETRÍA EN EL ANTIGUO EGIPTO

Geometría alude a "medir la tierra".

Sobre el origen de la geometría tenemos básicamente dos fuentes, Heródoto y Aristóteles, que coinciden en situarlo en la civilización egipcia, aunque pensando posiblemente en unas raíces mucho más antiguas. Heródoto afirma que la geometría se originó en Egipto, fruto de la necesidad práctica de medir los límites de las parcelas de terreno periódicamente inundadas por las aguas del Nilo.

Los agrimensores y constructores de pirámides trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.

Un sistema de medición de la tierra que supone el conocimiento de los fundamentos de la trigonometría o cálculo de triángulos.
Pero en el Antiguo Egipto la acción de «tender la cuerda» entre dos piquetes era una de las más importantes operaciones sagradas de la fundación de un templo: después de observar las estrellas circumpolares, después de medir el tiempo con la clepsidra a fin de fijar la orientación del templo, se tensaba la cuerda sobre el emplazamiento de los muros y se determinaban cuatro ángulos picando el rey sobre las estacas con un mazo de oro, mientras se recitaban los textos sagrados. 

Para los egipcios, éste era el triángulo sagrado, porque era el secreto de todas las medidas. Sus lados se relacionan entre sí con los números 3, 4, 5, que sumados dan 12, el circuito zodiacal o ciclo fundamental formado por tres veces cuatro

CÁLCULO DE SUPERFICIES 

Otro de los problemas más importantes a solventar estaba relacionado con el cálculo
de áreas, de hecho, dado que la sociedad era principalmente agrícola, tras
la subida anual del Nilo, había que volver a asignar a cada persona la misma superficie
de tierra que tenía antes de la inundación. Este hecho dio lugar a que se
tuviera que saber calcular el área de distintas superficies y, dependiendo del tipo,
encontramos diversos ejercicios planteados y resueltos.

• Superficies rectangulares.

Problema 49 del papiro de Rhind:
cálculo del área de un rectángulo de 1000 codos de largo por 10 de ancho (codo=unidad de longitud).
Área = 1000 x 100 = 100000 codos2

• ¿Cómo hallaban el área del triángulo?

   Aparentemente, se basaban en la representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión: área = altura × base/2,

Ejemplo del cálculo de un campo triangular. Si te dicen: Un triángulo de 10 varas  (varas de cuerda: 100  codos reales= 1KHA) de meryt (altura) y de 4 varas de base; ¿cuál es su superficie? Calcularás así:

Tomarás la mitad de 4, o sea 2, para hacerlo rectángulo. Multiplicarás 10 por 2. Es su superficie.

• ¿Cómo calculaban el área del trapecio?

'triángulo truncado', expresión con la que el antiguo escriba egipcio designaba al trapecio

 De nuevo, como en el caso del triángulo, es necesario plantearse cuál es la transformación realizada por el escriba para pasar de un trapecio al rectángulo de área equivalente. Una posibilidad consistiría en añadir al trapecio original uno igual pero invertido, de manera que la figura resultante fuera un romboide que tuviera la misma altura y como base la suma de las bases del trapecio Obviamente, su área sería el doble por lo que habría que dividirla entre dos

 la hipótesis más probable sobre el origen de la fórmula de cálculo del trapecio consistiría en tomar el rectángulo que tenga por dimensiones la altura del trapecio y su base menor (la truncada en terminología egipcia). Las partes restantes son triángulos que, tratados de la forma vista en un apartado anterior, resultarían equivalentes a rectángulos de la misma altura y base la mitad de la del triángulo correspondiente. Por un cálculo aritmético resultaría que la base general del rectángulo equivalente es la mitad de la suma de las dos bases del trapecio

El problema 52 del papiro Rhind presenta el caso de un 'triángulo truncado

Si te dicen ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de tierra de 20 khet en su altura, 6 khet en su base, 4 khet en su línea truncada?. 

La forma de cálculo coincide plenamente con la actual:

• Añadir su base a su línea truncada, hace 10.
• Tomar la mitad de 10, es decir, 5 para (un lado de) su rectángulo.

Multiplicar 20 veces 5, hace 100. Este es el área             

PIRÁMIDES

Por último, en el caso de las pirámides, en distintos papiros se encuentran ejercicios en los que hay que calcular tanto la inclinación de las caras como el volumen total de la misma. Lo que lleva a afirmar que los egipcios sabían calcular el ángulo de inclinación de cada una de las paredes de la pirámide, el volumen de una pirámide truncada y el volumen de una pirámide.

Problema 14 del papiro de Moscú: calcular el volumen de una pirámide truncada de lados 2 y 4 y altura 6.

En general, la fórmula del volumen de una pirámide truncada de lados a y b y altura h era conocida en el Antiguo Egipto y se correspondía con la actual

Volumen = h(a2 + ab + b2)/3

Volumen = 6(22 + 2  4 + 42)/3 = 56

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS

En las pirámides egipcias, todo parece indicar que fueron diseñadas sobre

la base de los Triángulos Sagrados egipcios, que son aquellos triángulos

rectángulos cuyos lados están en la relación 3-4-5, a los que se les

atribuían propiedades mágicas o estéticas y de hecho en los nombres de

algunas de estas pirámides aparece el trilítero nfr (símbolo F35, según la

clasificación de Gardiner), que significa hermoso o bello.

La preferencia por este ángulo de inclinación (poco más de 53º) la

podemos también observar en el papiro matemático de Rhind (RMP). Es el

único documento en el que se encuentran problemas referentes a la

inclinación de las caras de pirámides. En concreto, los problemas nº 56,

57, 58 y 59, hacen referencia a pirámides de caras lisas en los que se

pide calcular el “seked” (inclinación de las caras de la pirámide) a partir

de las dimensiones de la pirámide, o viceversa, sabiendo el “seked” y una

de sus dimensiones (por ejemplo, el lado), calcular la otra dimensión

(altura).

Respecto a la geometría de estas pirámides, veremos que el uso de los

triángulos 3-4-5 en su construcción reporta importantes ventajas. Una de

ellas es que para la resolución de estos triángulos rectángulos, no es

necesaria la aplicación del Teorema de Pitágoras, ya que en estos casos,

se puede realizar de una manera mucho más sencilla utilizando tan sólo

sumas o restas, sin necesidad de elevar números al cuadrado, ni resolver

complicadas raíces cuadradas.

Los ángulos interiores de este tipo de triángulos son 90 , 36º 52' 11" y

53º 07' 48". Lo cual quiere decir que cualquier triángulo que posea estos

ángulos, independientemente del tamaño que tenga, será un triángulo 3-

4-5 o Triángulo Sagrado.

Una de las aplicaciones de los Triángulos Sagrados es que podían

utilizarse para construir ángulos rectos, pues la unión de tres palos o

barras cuyas longitudes estén en la proporción 3-4-5, forman un triángulo

rectángulo. Esto también es posible con la ayuda de una cuerda dividida,

con nudos, en doce partes iguales, permitiendo construir un triángulo 3-

4-5.

Las pirámides diseñadas con Triángulos Sagrados contienen 4 triángulos

de este tipo en su estructura, siendo éstos los que se forman con cada

uno de las apotemas de las caras, la base y la altura de la pirámide y que

precisamente están orientados en la dirección de los 4 puntos cardinales.

Pruebas del Conocimiento matemático del Antiguo Egipto

Las pruebas de conocimiento más importantes de la matemática egipcia son, en primer lugar, el Papiro de Rhind (1650 A.C.) y, en segundo lugar, el Papiro de Moscú (1890 A.C.).

Papiro de Rhind

El Papiro de Rhind fue escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 A.C. Es un rollo de papiro comprado en 1858 por Henry Rhind y conservado en el Museo Británico de Londres, que constituye la fuente más importante de los conocimientos matemáticos egipcios.

El papiro contiene 87 problemas matemáticos resueltos, que incluyen cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculos de áreas y de volúmenes, regla de tres, progresiones, repartos proporcionales, ecuaciones lineales y trigonometría básica.

El papiro de Moscú fue escrito hacia el año 1850 A. C. por un escriba desconocido. Actualmente, se conserva en el museo de Moscú.

Este papiro contiene 25 problemas relacionados con la vida práctica y es muy similar al papiro de Rhind.

Otras fuentes de referencia, son las pirámides de Giza (2500 A.C.), el Rollo de Cuero (1800 A.C.) y el Papiro de Berlín (1300 A.C.).

En las pirámides, tumbas o monumentos, hay pruebas del sistema de numeración jeroglífico.

El rollo de Cuero (1800) A.C. es un documento que contiene 26 sumas de fracciones unitarias.

LAS PIRÁMIDES DE GIZA

Consideradas una de las siete maravillas del mundo antiguo, la única que aún siguen en pie, las Pirámides de Giza son el reflejo de una civilización con amplios conocimientos matemáticos, astronómicos y arquitectónicos.

    Con respecto a su posición, podemos decir, por un lado, que cada una de sus caras, están orientadas, con mucha presición, hacia los cuatro puntos cardinales..

Por otra parte, las tres pirámides, se encuentran alineadas, con gran exactitud, con las tres estrellas del Cinturón del Orión.

Además, de acuerdo con el ingeniero egipcio Robert Bauval, las llamadas “cámaras de ventilación” de la Gran Pirámide de Keops apuntan directamente a las estrellas. Las del lado sur apuntan a la constelación de Orión (desde la cámara del rey) y a la estrella Sirio (desde la cámara de la reina). Las cámaras del lado norte apuntan a la Osa Menor (desde la cámara de la reina) y a Alfa Draconis o Thuban (desde la cámara del rey), la estrella que hace unos 4800 años marcaba el norte.

 Asimismo, la Gran Pirámide, presenta, además, algunas particularidades matemáticas:

-        El cuadrado de su altura es igual al área de una de sus caras

-        El número π, resulta de calcular el cociente entre el perímetro de la base y el doble de su altura:

-        El número de oro, es posible hallarlo a través de distintos cálculos:

VIDEO - LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO

http://www.youtube.com/watch?v=TZIHCiAhR5E